[Algorithm] C++ 백준 12850번 본대 산책2

문제 요약

문제 링크: https://www.acmicpc.net/problem/12850

숭실대학교 캠퍼스에는 8개의 건물이 있고, 서로 인접한 건물 사이를 이동하는 데 1분이 걸립니다. 정보과학관에서 출발하여 정확히 D분 후에 다시 정보과학관으로 돌아오는 경로의 수를 구하는 문제입니다.

건물 목록:

정보과학관 (시작/도착점)
전산관
미래관
신양관
한경직기념관
진리관
형남공학관
학생회관

입출력

입력:

1
D

D: 산책 시간 (1 <= D <= 1,000,000,000)

출력:

1
경로의 수 mod 1,000,000,007

예제:

1
2
입력: 100000000
출력: 261245548

접근 개요

핵심 관찰

그래프 모델링: 캠퍼스를 8개의 정점과 간선으로 이루어진 그래프로 모델링
인접 행렬과 경로 수: 인접 행렬 A에서 A^D[i][j]는 정점 i에서 j로 정확히 D번 이동하는 경로의 수
행렬 거듭제곱: D가 최대 10^9이므로 O(log D) 시간에 행렬 거듭제곱 필요

캠퍼스 연결 구조

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정보과학관(0) --- 전산관(1) --- 신양관(3) --- 진리관(5)
    |               |               |               |
미래관(2) -------- + ---------- 한경직(4) ----- 학생회관(7)
                                    |               |
                              형남공학관(6) ---------+

인접 리스트:

정보과학관(0): 전산관(1), 미래관(2)
전산관(1): 정보과학관(0), 미래관(2), 신양관(3)
미래관(2): 정보과학관(0), 전산관(1), 신양관(3), 한경직기념관(4)
신양관(3): 전산관(1), 미래관(2), 한경직기념관(4), 진리관(5)
한경직기념관(4): 미래관(2), 신양관(3), 진리관(5), 형남공학관(6)
진리관(5): 신양관(3), 한경직기념관(4), 학생회관(7)
형남공학관(6): 한경직기념관(4), 학생회관(7)
학생회관(7): 진리관(5), 형남공학관(6)

알고리즘 설계

행렬 거듭제곱 원리

인접 행렬 A에서:

A[i][j] = 1이면 i와 j가 직접 연결됨
A^k[i][j] = i에서 j로 정확히 k번 이동하는 경로의 수

증명 (귀납법):

k=1: A^1[i][j] = A[i][j] (정의)
k->k+1: A^(k+1)[i][j] = sum(A^k[i][m] * A[m][j]) for all m
- 이는 i에서 m까지 k번 이동 후, m에서 j로 1번 이동하는 모든 경우의 합

빠른 거듭제곱

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power(A, n):
    if n == 1: return A
    if n is even:
        half = power(A, n/2)
        return half * half
    else:
        return A * power(A, n-1)

복잡도 분석

시간 복잡도: O(8^3 * log D) = O(512 * log D)
- 행렬 곱셈: O(8^3)
- 거듭제곱 횟수: O(log D)
공간 복잡도: O(8^2) = O(64) - 행렬 저장

구현

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// 42jerrykim.github.io에서 더 많은 정보를 확인할 수 있다
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef vector<vector<ll>> Matrix;

const ll MOD = 1e9 + 7;
const int N = 8;

// 8x8 인접 행렬 (숭실대 캠퍼스)
Matrix adj = {
    {0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0},  // 정보과학관
    {1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0},  // 전산관
    {1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0},  // 미래관
    {0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0},  // 신양관
    {0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0},  // 한경직기념관
    {0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1},  // 진리관
    {0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1},  // 형남공학관
    {0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0}   // 학생회관
};

// 행렬 곱셈
Matrix multiply(const Matrix& A, const Matrix& B) {
    Matrix C(N, vector<ll>(N, 0));
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            for (int k = 0; k < N; k++) {
                C[i][j] = (C[i][j] + A[i][k] * B[k][j]) % MOD;
            }
        }
    }
    return C;
}

// 행렬 거듭제곱
Matrix power(Matrix A, ll n) {
    Matrix result(N, vector<ll>(N, 0));
    // 단위 행렬로 초기화
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        result[i][i] = 1;
    }
    
    while (n > 0) {
        if (n & 1) {
            result = multiply(result, A);
        }
        A = multiply(A, A);
        n >>= 1;
    }
    
    return result;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    ll D;
    cin >> D;
    
    Matrix result = power(adj, D);
    
    // 정보과학관(0)에서 시작하여 정보과학관(0)으로 돌아오는 경로의 수
    cout << result[0][0] << "\n";
    
    return 0;
}

코너 케이스 체크리스트

케이스	설명	처리
D=1	최소 입력	정보과학관에서 1분 후 돌아올 수 없음 (0)
D=2	왕복 가능	전산관 왕복 또는 미래관 왕복 (2가지)
D=10^9	최대 입력	행렬 거듭제곱으로 O(log D)에 처리
홀수 D	패리티	정상 처리 (일부 D에서는 0일 수 있음)

검증 (D=2)

정보과학관(0)에서 시작:

0 -> 1 -> 0 (전산관 왕복)
0 -> 2 -> 0 (미래관 왕복)

총 2가지 경로 -> A^2[0][0] = 2 ✓

제출 전 체크

모듈로 연산: 모든 곱셈 후 MOD 적용
오버플로우: long long 사용
행렬 초기화: 인접 행렬 정확히 입력
단위 행렬: 거듭제곱 시작 시 항등원 사용
비트 연산: n & 1로 홀수 판별

참고자료

SCCC 2016 Summer Contest - 숭실대학교 프로그래밍 동아리 대회
행렬 거듭제곱: 분할 정복을 이용한 O(log n) 계산
그래프 이론: 인접 행렬과 경로 수의 관계

코너 케이스 및 실수 포인트

케이스	설명	처리 방법
최소 입력	N=1 또는 빈 입력	반복문 범위·예외 처리 확인
오버플로우	답이 $2^{31}$ 초과 가능	`long long` (C++) 등 사용