[Algorithm] C++ 백준 13925 수열과 쿼리 13

문제 분석

BOJ 13925 - 수열과 쿼리 13은 다음 네 가지 쿼리를 효율적으로 처리해야 합니다:

쿼리 1: 구간 [x, y]에 모든 원소에 v를 더함 (덧셈)
쿼리 2: 구간 [x, y]에 모든 원소에 v를 곱함 (곱셈)
쿼리 3: 구간 [x, y]의 모든 원소를 v로 설정 (값 설정)
쿼리 4: 구간 [x, y]의 합을 구함 (MOD 10^9+7)

핵심 아이디어

일반적인 Lazy Propagation 세그먼트 트리는 한 종류의 연산만 처리합니다. 이 문제의 핵심은 세 가지 다른 연산을 선형 함수로 통합하는 것입니다.

모든 연산을 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

$$f(x) = \text{mul} \cdot x + \text{add}$$

덧셈 (+v): mul = 1, add = v → f(x) = 1·x + v = x + v
곱셈 (×v): mul = v, add = 0 → f(x) = v·x + 0 = v·x
값 설정 (=v): mul = 0, add = v → f(x) = 0·x + v = v

Lazy 연산 합성

기존의 미적용 연산 (mul, add)에 새로운 연산 (mul', add')를 적용할 때:

$$f'(f(x)) = \text{mul'} \cdot (\text{mul} \cdot x + \text{add}) + \text{add'}$$

$$= (\text{mul'} \cdot \text{mul}) \cdot x + (\text{mul'} \cdot \text{add} + \text{add'})$$

따라서:

new_mul = (mul' × mul) % MOD
new_add = (mul' × add + add') % MOD

구현 코드

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// 42jerrykim.github.io에서 더 많은 정보를 확인할 수 있다
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll MOD = 1e9 + 7;

struct LazySegTree {
    int n;
    vector<ll> tree, lazy_mul, lazy_add;
    
    LazySegTree(int n) : n(n) {
        tree.resize(4 * n);
        lazy_mul.resize(4 * n, 1);
        lazy_add.resize(4 * n, 0);
    }
    
    void build(vector<ll>& arr, int node, int start, int end) {
        if (start == end) {
            tree[node] = arr[start] % MOD;
        } else {
            int mid = (start + end) / 2;
            build(arr, node * 2, start, mid);
            build(arr, node * 2 + 1, mid + 1, end);
            tree[node] = (tree[node * 2] + tree[node * 2 + 1]) % MOD;
        }
    }
    
    void push_down(int node, int start, int end) {
        if (lazy_mul[node] != 1 || lazy_add[node] != 0) {
            int mid = (start + end) / 2;
            int left = node * 2, right = node * 2 + 1;
            
            // 왼쪽 자식에 lazy 값 적용
            tree[left] = (tree[left] * lazy_mul[node] % MOD + 
                         lazy_add[node] * (mid - start + 1) % MOD) % MOD;
            lazy_mul[left] = lazy_mul[left] * lazy_mul[node] % MOD;
            lazy_add[left] = (lazy_add[left] * lazy_mul[node] % MOD + lazy_add[node]) % MOD;
            
            // 오른쪽 자식에 lazy 값 적용
            tree[right] = (tree[right] * lazy_mul[node] % MOD + 
                          lazy_add[node] * (end - mid) % MOD) % MOD;
            lazy_mul[right] = lazy_mul[right] * lazy_mul[node] % MOD;
            lazy_add[right] = (lazy_add[right] * lazy_mul[node] % MOD + lazy_add[node]) % MOD;
            
            // 부모의 lazy 초기화
            lazy_mul[node] = 1;
            lazy_add[node] = 0;
        }
    }
    
    void update(int node, int start, int end, int l, int r, ll mul, ll add) {
        if (r < start || end < l) return;
        if (l <= start && end <= r) {
            // 현재 노드의 값에 연산 적용
            tree[node] = (tree[node] * mul % MOD + add * (end - start + 1) % MOD) % MOD;
            // Lazy 값 합성
            lazy_mul[node] = lazy_mul[node] * mul % MOD;
            lazy_add[node] = (lazy_add[node] * mul % MOD + add) % MOD;
            return;
        }
        push_down(node, start, end);
        int mid = (start + end) / 2;
        update(node * 2, start, mid, l, r, mul, add);
        update(node * 2 + 1, mid + 1, end, l, r, mul, add);
        tree[node] = (tree[node * 2] + tree[node * 2 + 1]) % MOD;
    }
    
    ll query(int node, int start, int end, int l, int r) {
        if (r < start || end < l) return 0;
        if (l <= start && end <= r) return tree[node];
        push_down(node, start, end);
        int mid = (start + end) / 2;
        return (query(node * 2, start, mid, l, r) + 
                query(node * 2 + 1, mid + 1, end, l, r)) % MOD;
    }
};

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    
    int n;
    cin >> n;
    
    vector<ll> arr(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> arr[i];
    }
    
    LazySegTree st(n + 1);
    st.build(arr, 1, 1, n);
    
    int m;
    cin >> m;
    
    while (m--) {
        int op, x, y;
        ll v;
        cin >> op >> x >> y;
        
        if (op == 1) {
            // 구간 덧셈
            cin >> v;
            st.update(1, 1, n, x, y, 1, v % MOD);
        } else if (op == 2) {
            // 구간 곱셈
            cin >> v;
            st.update(1, 1, n, x, y, v % MOD, 0);
        } else if (op == 3) {
            // 구간 값 설정
            cin >> v;
            st.update(1, 1, n, x, y, 0, v % MOD);
        } else {
            // 구간 합 쿼리
            cout << st.query(1, 1, n, x, y) << '\n';
        }
    }
    
    return 0;
}

알고리즘 상세 설명

1. 노드 값 업데이트

연산 (mul, add)를 구간 [l, r]에 적용할 때:

크기가 cnt = r - l + 1인 구간의 합:
- 기존: S
- 새로운: S' = (S * mul + add * cnt) % MOD

2. Lazy 값 적용

구간 업데이트 시 자식 노드에 lazy 정보를 전파:

자식의 새로운 mul: child_mul = child_mul * parent_mul
자식의 새로운 add: child_add = child_add * parent_mul + parent_add

3. Push Down 과정

쿼리 또는 업데이트 전에 미적용된 lazy 값을 자식에 전파하는 과정입니다.

시간 복잡도 분석

작업	시간복잡도
빌드	O(N)
각 쿼리	O(log N)
전체	O((N + M) log N)

N = 100,000, M = 100,000일 때 약 1,700만 연산으로 충분합니다.

예제 풀이

입력:

실행 과정:

초기 배열: [1, 2, 3, 4]
4 1 4: 구간 [1, 4]의 합 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
1 1 3 10: 구간 [1, 3]에 10을 더함 → [11, 12, 13, 4]
2 2 4 2: 구간 [2, 4]에 2를 곱함 → [11, 24, 26, 8]
4 1 4: 구간 [1, 4]의 합 = 11 + 24 + 26 + 8 = 69 (MOD 10^9+7)

출력:

주의사항

MOD 연산: 모든 계산에서 % MOD를 적용하여 오버플로우 방지
Lazy 합성 순서: mul'(mul * x + add) + add' 순서 준수
구간 크기: 합 계산 시 구간의 원소 개수(end - start + 1)를 고려해야 함
초기 lazy 값: lazy_mul = 1, lazy_add = 0 (항등원)

확장 학습

풀이 팁

이 문제가 어려운 이유는 세 가지 서로 다른 연산을 하나의 프레임워크로 통합해야 한다는 점입니다. 핵심은 모든 연산을 선형 함수로 표현하고, lazy 값을 합성 함수로 처리하는 것입니다. 비슷한 문제로 BOJ 13424, BOJ 14178 등이 있으니 참고하세요.

코너 케이스 및 실수 포인트

케이스	설명	처리 방법
최소 입력	N=1 또는 빈 입력	반복문 범위·예외 처리 확인
오버플로우	답이 $2^{31}$ 초과 가능	`long long` (C++) 등 사용