[Algorithm] cpp-python 백준 13034번: 다각형 게임

[Algorithm] cpp-python 백준 13034번: 다각형 게임 - Sprague–Grundy DP

볼록 다각형에서 선분을 서로 교차시키지 않고 기존 선분의 끝점과도 겹치지 않게 잇는 게임을 스프라그–그런디 정리로 모델링합니다. 한 번의 선택이 다각형을 두 부분으로 분할한다는 불변식에서 g[n]=mex{g[a]⊕g[n-2-a]}를 세우고, O(N^2) DP로 승패(1/2)를 판정합니다. 엣지/실수 포인트 점검 포함.

문제

링크: https://www.acmicpc.net/problem/13034
요약: N개의 꼭짓점을 가진 볼록 다각형에서, 두 꼭짓점을 골라 선분을 긋되 기존 선분과 교차하거나 끝점이 겹치면 안 됩니다. 더 이상 그을 수 없는 사람이 패배합니다. 선공(성관)과 후공(홍준)이 최적으로 플레이할 때 승자를 구합니다.

입력/출력

입력: 한 줄에 정수 N (3 ≤ N ≤ 1000)
출력: 선공이 이기면 1, 후공이 이기면 2

예시

접근 개요

핵심 관찰: 한 번의 선분 선택은 다각형을 두 부분으로 분할합니다. 그리고 선택된 두 꼭짓점은 이후 어떤 선분의 끝점으로도 사용할 수 없습니다. 즉, 각 부분 문제에서는 그 구간 내부의 꼭짓점들만 사용 가능합니다.
불변식: 양쪽 부분 문제는 서로 독립인 임partial game이므로, 전체 그런디 수는 두 부분 그런디 수의 XOR 입니다.
전이식: 양 끝점을 제외한 한쪽 구간 내부 꼭짓점 수를 a (0 ≤ a ≤ n-2)라 하면, 다른 쪽은 b = n-2-a이고, 그런디는
- \( g[n] = \mathrm{mex}\{\, g[a] \oplus g[b] \mid a=0..n-2,\ b=n-2-a \,\} \)
기저: \(g[0]=g[1]=0\) (더 이상 그을 수 없는 상태)

전이 흐름도 (Mermaid)

flowchart TD
  A[현재 꼭짓점 수 n] --> B{a = 0..n-2}
  B --> C[g[a] XOR g[n-2-a]]
  C --> D[값들 집합]
  D --> E[mex 집합 = g[n]]

알고리즘

DP로 0..N까지의 그런디 수를 누적 계산
- seen 배열에 가능한 \(g[a]\oplus g[b]\)를 표시한 뒤 mex를 취함
최종 \(g[N] > 0\)이면 선공이 이김(1), 아니면 후공(2)

복잡도

시간: \(O(N^2)\) — 각 n마다 a를 0..n-2 순회
공간: \(O(N)\) — 그런디 테이블 저장

구현 (C++)

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);
    int N; if(!(cin>>N)) return 0;
    vector<int> g(N+1,0);
    if(N>=0) g[0]=0; if(N>=1) g[1]=0;
    for(int n=2;n<=N;++n){
        vector<char> seen(n+5,0);
        for(int a=0;a<=n-2;++a){
            int b=n-2-a;
            int val=g[a]^g[b];
            if(val<(int)seen.size()) seen[val]=1;
        }
        int mex=0; while(mex<(int)seen.size() && seen[mex]) ++mex;
        g[n]=mex;
    }
    cout<<(g[N]?1:2) << '\n';
    return 0;
}

구현 (Python)

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import sys

def solve():
    data = sys.stdin.read().strip().split()
    if not data:
        return
    N = int(data[0])
    g = [0]*(N+1)
    if N >= 1:
        g[1] = 0
    for n in range(2, N+1):
        seen = [False]*(n+5)
        for a in range(0, n-1):
            b = n-2-a
            val = g[a]^g[b]
            if val < len(seen):
                seen[val] = True
        mex = 0
        while mex < len(seen) and seen[mex]:
            mex += 1
        g[n] = mex
    print(1 if g[N] else 2)

if __name__ == "__main__":
    solve()