이 문제는 주어진 여러 쌍의 $N$과 $K$에 대해 이항 계수 $\binom{N}{K}$를 계산하고, 그 결과를 1,000,000,007로 나눈 나머지를 구하는 문제이다. 입력으로는 여러 개의 쿼리 $M$이 주어지며, 각 쿼리마다 $N$과 $K$가 주어진다. 이때, $N$의 최대값이 4,000,000으로 매우 크기 때문에, 효율적으로 이항 계수를 계산할 필요가 있다. 단순히 팩토리얼을 계산하고 나누는 방식으로는 시간 초과가 발생할 수 있다. 따라서, 미리 팩토리얼과 그 역원을 미리 계산해두고 이를 활용하여 빠르게 이항 계수를 구하는 방법을 사용해야 한다.
문제 : https://www.acmicpc.net/problem/13977
접근 방식
이 문제를 해결하기 위해서는 이항 계수를 효율적으로 계산할 수 있는 방법이 필요하다. 이항 계수 $\binom{N}{K}$는 다음과 같이 계산할 수 있다:
$\binom{N}{K} = \frac{N!}{K!(N-K)!}$
여기서, $N!$, $K!$, $(N-K)!$를 직접 계산하는 것은 $N$이 4,000,000까지 주어지므로 비효율적이다. 따라서, 미리 모든 팩토리얼 값을 계산해두고, 페르마의 소정리를 이용하여 모듈로 역수를 구한 뒤, 이를 이용해 $\binom{N}{K}$를 빠르게 계산할 수 있다. 구체적으로는 다음과 같은 단계를 따른다:
- 팩토리얼 미리 계산: $0!$부터 $4,000,000!$까지의 값을 미리 계산하고, 이를 모듈로 $1,000,000,007$로 저장한다.
- 역팩토리얼 계산: $N!$의 역수를 계산하기 위해 페르마의 소정리를 이용하여 $fact[N]^{MOD-2} \mod MOD$를 계산하고, 이를 통해 모든 역팩토리얼을 미리 계산해둔다.
- 이항 계수 계산: 각 쿼리마다 $\binom{N}{K} = fact[N] \times inv_fact[K] \times inv_fact[N-K] \mod MOD$를 계산하여 출력한다.
이러한 방식을 통해 $M$개의 쿼리를 효율적으로 처리할 수 있다.
C++ 코드와 설명
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| #include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD = 1000000007;
// Fast exponentiation to compute (base^exp) % MOD
ll powmod(ll base, ll exp, ll mod) {
ll res = 1;
base %= mod;
while(exp > 0){
if(exp & 1LL){
res = res * base % mod; // 현재 비트가 1이면 결과에 base를 곱함
}
base = base * base % mod; // base를 제곱함
exp >>= 1LL; // 다음 비트로 이동
}
return res;
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(NULL);
int M;
cin >> M;
// Maximum N is up to 4,000,000
const int MAX = 4000000;
vector<ll> fact(MAX+1, 1);
for(int i=1; i<=MAX; ++i){
fact[i] = fact[i-1] * i % MOD; // 팩토리얼을 미리 계산
}
// Compute inverse factorial
vector<ll> inv_fact(MAX+1, 1);
inv_fact[MAX] = powmod(fact[MAX], MOD-2, MOD); // 마지막 팩토리얼의 역수 계산
for(int i=MAX-1; i>=0; --i){
inv_fact[i] = inv_fact[i+1] * (i+1) % MOD; // 역팩토리얼을 역순으로 계산
}
while(M--){
ll N, K;
cin >> N >> K;
if(K < 0 || K > N){
cout << "0\n"; // K가 유효하지 않으면 0 출력
continue;
}
// C(N,K) = fact[N] * inv_fact[K] % MOD * inv_fact[N-K] % MOD
ll comb = fact[N] * inv_fact[K] % MOD;
comb = comb * inv_fact[N-K] % MOD;
cout << comb << "\n"; // 결과 출력
}
}
|
코드 설명
- powmod 함수: 페르마의 소정리를 이용하여 빠르게 거듭제곱을 계산한다. 이 함수는 $base^{exp} \mod mod$를 계산하며, 이항 계수의 역수를 구하는 데 사용된다.
- 팩토리얼 계산: $0!$부터 $4,000,000!$까지의 값을 미리 계산하여
fact 벡터에 저장한다. - 역팩토리얼 계산: 마지막 팩토리얼의 역수를
powmod 함수를 이용하여 계산한 후, 이를 바탕으로 모든 역팩토리얼을 역순으로 계산하여 inv_fact 벡터에 저장한다. - 쿼리 처리: 각 쿼리마다 $N$과 $K$를 입력받아, 유효성을 검사한 후, 미리 계산된 팩토리얼과 역팩토리얼을 이용하여 $\binom{N}{K}$를 계산하고 출력한다.
C++ without library 코드와 설명
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| #include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD = 1000000007;
// Fast exponentiation to compute (base^exp) % MOD
ll powmod(ll base, ll exp, ll mod) {
ll res = 1;
base %= mod;
while(exp > 0){
if(exp & 1){
res = res * base % mod; // 현재 비트가 1이면 결과에 base를 곱함
}
base = base * base % mod; // base를 제곱함
exp >>= 1; // 다음 비트로 이동
}
return res;
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(NULL);
int M;
cin >> M;
// Maximum N is up to 4,000,000
const int MAX = 4000000;
ll fact[MAX+1];
fact[0] = 1;
for(int i=1; i<=MAX; ++i){
fact[i] = fact[i-1] * i % MOD; // 팩토리얼을 미리 계산
}
// Compute inverse factorial
ll inv_fact[MAX+1];
inv_fact[MAX] = powmod(fact[MAX], MOD-2, MOD); // 마지막 팩토리얼의 역수 계산
for(int i=MAX-1; i>=0; --i){
inv_fact[i] = inv_fact[i+1] * (i+1) % MOD; // 역팩토리얼을 역순으로 계산
}
while(M--){
ll N, K;
cin >> N >> K;
if(K < 0 || K > N){
cout << "0\n"; // K가 유효하지 않으면 0 출력
continue;
}
// C(N,K) = fact[N] * inv_fact[K] % MOD * inv_fact[N-K] % MOD
ll comb = fact[N] * inv_fact[K] % MOD;
comb = comb * inv_fact[N-K] % MOD;
cout << comb << "\n"; // 결과 출력
}
}
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코드 설명
이 코드는 C++의 표준 라이브러리를 사용하지 않고, 기본적인 iostream만을 사용하여 동일한 기능을 구현하였다. 팩토리얼과 역팩토리얼을 배열에 직접 저장하고, powmod 함수를 이용하여 거듭제곱을 계산한다. 로직은 이전 C++ 코드와 동일하며, 각 부분에 대한 설명은 동일하다.
Python 코드와 설명
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| MOD = 10**9 + 7
def powmod(base, exp, mod):
result = 1
base %= mod
while exp > 0:
if exp % 2:
result = result * base % mod # 현재 비트가 1이면 결과에 base를 곱함
base = base * base % mod # base를 제곱함
exp //= 2 # 다음 비트로 이동
return result
def main():
import sys
input = sys.stdin.read
data = input().split()
M = int(data[0])
queries = data[1:]
MAX = 4000000
fact = [1] * (MAX + 1)
for i in range(1, MAX + 1):
fact[i] = fact[i-1] * i % MOD # 팩토리얼을 미리 계산
inv_fact = [1] * (MAX + 1)
inv_fact[MAX] = powmod(fact[MAX], MOD-2, MOD) # 마지막 팩토리얼의 역수 계산
for i in range(MAX-1, -1, -1):
inv_fact[i] = inv_fact[i+1] * (i+1) % MOD # 역팩토리얼을 역순으로 계산
idx = 0
for _ in range(M):
N = int(queries[idx])
K = int(queries[idx+1])
idx += 2
if K < 0 or K > N:
print(0) # K가 유효하지 않으면 0 출력
continue
comb = fact[N] * inv_fact[K] % MOD
comb = comb * inv_fact[N-K] % MOD
print(comb) # 결과 출력
if __name__ == "__main__":
main()
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코드 설명
- powmod 함수: C++ 코드와 동일하게 빠른 거듭제곱을 구현하였다. Python에서는 내장 함수
pow를 사용할 수도 있으나, 문제의 요구사항에 맞추어 직접 구현하였다. - 팩토리얼 계산: 리스트
fact를 이용하여 $0!$부터 $4,000,000!$까지의 값을 미리 계산하고 저장한다. - 역팩토리얼 계산: 마지막 팩토리얼의 역수를
powmod 함수를 이용하여 계산한 후, 이를 바탕으로 모든 역팩토리얼을 역순으로 계산하여 리스트 inv_fact에 저장한다. - 쿼리 처리: 입력을 한 번에 읽어 리스트로 저장한 후, 각 쿼리마다 $N$과 $K$를 읽어 유효성을 검사한 후, 이항 계수를 계산하여 출력한다.
결론
이번 문제를 통해 대규모 이항 계수를 효율적으로 계산하는 방법을 학습할 수 있었다. 특히, 팩토리얼과 그 역수를 미리 계산해두는 방식은 많은 쿼리를 빠르게 처리할 수 있게 해준다. 또한, 페르마의 소정리를 이용한 모듈로 역수 계산은 수학적 아이디어가 중요한 역할을 한다는 것을 깨달았다. 추가적으로, Python에서는 내장 함수를 활용하여 더 간결하게 코드를 작성할 수 있지만, C++에서는 효율적인 구현을 위해 세부적인 최적화가 필요함을 확인할 수 있었다. 앞으로 유사한 문제를 풀 때, 이번에 배운 방법들을 응용하여 더 빠르고 효율적인 코드를 작성할 수 있을 것이다.
![Featured image of post [Algorithm] C++/Python 백준 13977번 : 이항 계수와 쿼리](/post/algorithm/2024-09-19-boj-13977/tmp_wordcloud_hu2713810479794372121.png)
